Correction Exponentielle 1.
Le plan est rapporté à un repère orthonormal
On désigne par C la courbe représentative de la fonction exponentielle
.
Pour tout point M d’abscisse t appartenant à C, on considère le point P de coordonnées (t, 0) et le point N, point d’intersection de la tangente en M à C avec l’axe des abscisses.
Montrer que la distance PN est constante.
Equation de la tangente à la courbe au point d'abscisse t :
y = f '(t) (x – t) + f(t)
y = et (x – t) + et
Coordonnées du point N :
N appartient à l'axe des abscisses et à la tangente à la courbe au point M, donc son ordonnée est 0 et son abscisse est solution de l'équation 0 = et (x – t) + et = et(x – t + 1), c'est-à-dire x = t – 1.
Déterminons les coordonnées des points M, N et P.
P(t ; 0) ; M( t ; et) et N( t – 1 ; 0)
Calcul de PN :
PN² = (t – 1 – t)² + 0² = 1 d'où PN = 1
Dans la suite de l’exercice, f désigne une fonction définie sur R, strictement positive, dérivable et dont la dérivée est strictement positive. Pour tout point M d’abscisse t appartenant à la courbe représentative de f, on considère le point P de coordonnées (t, 0) et le point N, point d’intersection de la tangente en M à la courbe représentative de f avec l’axe des abscisses.
(a) Calculer la distance PN en fonction de f (t) et de f '(t).
y = f '(t) (x – t) + f(t)
P et N ont la même ordonnée 0
Pour trouver l'abscisse de N il faut résoudre l'équation : 0 = f '(t) (x – t) + f(t) et on obtient 
d'où 
car f et f ' sont strictement positives.
(b) Déterminer une équation différentielle (Ek) vérifiée par les fonctions f définies sur R, strictement positives, dérivables et dont la dérivée est strictement positive, pour lesquelles la distance PN est une constante k.
Pour que cette distance soit égale à k, il faut que f (t) =k f '(t) (Ek)
(c) Déterminer les fonctions f solutions de (Ek)
(Ek) devient : 
Les solutions de telles équations sont de la forme 
où C est une constante réelle.
Dans la question 1 on a bien k = C = 1.
