III) Etude de la fonction exponentielle :

Etude de la fonction exponentielle :

1) Sens de variations :

Théorème : la fonction exp est strictement croissante sur .

Démonstration : Valable pour toute bijection strictement croissante.

Soient u et v Î IR ; on a : u = ln ( e^u ) et v = ln ( e^v ) .

Si u < v alors e^u < e^v car la fonction ln est strictement croissante ; ( lna < lnb Þ a<b )

Conséquences : Pour tous réels x et y,

e^x > e^y Û x > y

e^x = e^y Û x = y

e^x > 1 Û x > 0

e^x< 1 Û x < 0

2) Etude des limites :

Théorème :

·

·

Démonstration :

· Soit M > 0 .

Montrons qu’il existe A > 0 tel que si x > A , alors e^x > M.

Prenons A = ln M : x > A Þ exp(x) > exp(ln M ) soit exp(x) > M

·

3) Dérivée de exp :

Admettons que exp est dérivable sur .

Alors , ( ln o exp ) (x) = x

En dérivant les deux membres,

Donc exp’(x) = exp(x) ou encore :

Théorème : La fonction exp est dérivable sur et égale à sa dérivée.

exp’(x) = exp(x)

On dit que exp est une solution de l’équation différentielle y’=y.

5) Comparaison avec la fonction x ® x :

Théorème 1 : et

Or donc et

donc

Théorème 2 :