Puissance d’un réel positif

Puissance d’un réel positif

Définition :

Quel que soit x strictement positif, quel que soit le réel a , x^a = e^a ^lnx

Propriétés :

Quels que soient les réels x et y strictement positifs,

quels que soient les réels a et b :

x^a ´ x^b = x^a ^{+ b}

x^a ´ y^a = (xy)^a

(x^a )^b = x^a
b

Exemple :

Résoudre l’équation :

Résoudre l’inéquation :

Fonction Puissance

Définition :

On appelle Fonction Puissance a la fonction fa définie de ]0 ; + ¥ [ vers IR telle que fa (x) = x^a = e^a ^lnx

Remarque : fa (x) > 0.

Cas particulier :

Dérivée de la fonction puissance :

Théorème :

Pour tout a réel, la fonction fa est dérivable sur IR^*+ et fa ’(x) = (xa )’ = a x^{a
– 1}

Démo :

f_a (x) = x ^a = e^a
lnx = e^u(x) avec u(x) = a ln x

Exemple :

Etude de la fonction f_a :

Théorème :

Si a > 0 alors

si a < 0 alors

Démo :

Si a > 0

Si a < 0 car – a > 0

Sens de variation :

f_a ’(x) =a x^a ^-1 est donc du signe de a .

Si a > 0 la fonction est croissante, si a < 0 la fonction est décroissante.

Si a < 0

x		0		+¥
x^a		+¥		0

Si a > 0

x		0		+¥
x^a		0		+¥

Application au calcul des dérivées :

Théorème :

Si u est une fonction définie, dérivable et strictement positive sur un intervalle I, alors quelque soit le nombre réel a non nul, la fonction u^a est dérivable sur I et

(u^a )’ = a u’ u^a ^{- 1}

Ex1 : Dériver la fonction telle f : x ® définie sur ]–0,5 ; +¥ [

Ex2 : Déterminer une primitive de la fonction

Didier Aribaud
Colegio Francia